Denksport

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Nachdem noch niemand geantwortet hat, versuche ich es. Ich kenne diese Denksportaufgabe nicht, aber hat eine "Quizzshow" doch nichts mit Öffnen von Türen zu tun sondern mit Fragen? Nagut. Statistisch: Zuerst war die Wahrscheinlichkeit auf einen Gewinn 1:3 (33 %), nun ist sie 1:2 (50 %), egal ob gewechselt wird oder nicht. Aber ich glaube, der Haken liegt wo anders.

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Da ich Kolli´s Erklärung nicht so recht geschnallt hab schaute ich mich im Internet nach einer verständlicheren Variante um. Die lautet so: Drei-Kasten-Problem – Drei-Türen-Problem – Monty-Hall-Problem – Gefangenenproblem – Ziegenproblem Lösungen zu diesen Problemen: intuitive Erklärung – Fallunterscheidung – Beweis – Literatur -------------------------------------------------------------------------------- Hier zu den verschiedenen Aufgabenstellungen, so diese nicht bekannt sind. Es gibt zahlreiche Lösungen, die das Ergebnis: »Es ist vorteilhaft zu wechseln« veranschaulichen. Hier zuerst zwei intuitive Erklärungen. Immer wenn hinter der Türe von Monty (des Kandidaten) eine Ziege ist, ist es für ihn geboten zu wechseln. Er verbessert sich von der Ziege zum Auto. In 2/3 aller Fälle ist hinter seiner Türe eine Ziege. In genau diesen Fällen ist genau hinter der geschlossenen Tür das Auto. Folglich ist es, wie in der Aufgabe vorausgesetzt, auch im Falle des Nichtwissens für Monty (den Kandidaten) vorteilhaft zu wechseln. In 2/3 aller Fälle verbessert er sich. a) Zu Beginn ist die Wahrscheinlichkeit für das Auto (WfdA) hinter A = 1/3. b) Zu Beginn ist die WfdA hinter Nicht-A = 2/3. c) Nach dem Öffnen einer Tür von den beiden Nicht-A-Türen ist die WfdA hinter der geöffneten Nicht-A-Tür = 0, da der Moderator nur eine Niete öffnet. d) Da die WfdA für beide Nicht-A-Türen nach b) = 2/3 ist, so ist die WfdA für die geschlossene Nicht-A-Tür = 2/3 (siehe b) minus 0 (siehe c) = 2/3. Somit hat der Kandidat die Wahl zwischen WfdA bei A = 1/3 (siehe a) und der WfdA bei der geschlossenen Nicht-A-Tür = 2/3 (siehe d). Man kann Monty nur empfehlen zu wechseln. Weitere intuitive Erklärungen am Beginn der Fallunterscheidung mit 10 Türen. Beweis Der Beweisgedanke ist folgender: Die anfängliche Gewinnwahrscheinlichkeit für die Wahl des Kandidaten = 1/3 bleibt, auch wenn der Moderator eine Tür geöffnet hat. Das wird bewiesen. Die gesamte Gewinnwahrscheinlichkeit bei Öffnen aller Türen bleibt = 1. Folglich ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die noch geschlossene, nicht vom Kandidaten gewählte Tür = 2/3. -------------------------------------------------------------------------------- Die Türen seien A, B, C. Nur hinter einer Tür ist ein Gewinn. Es sind drei Fälle möglich: Der Kandidat wählt im Fall I die Tür A; im Fall II die Tür B; im Fall III die Tür C. Die Wahrscheinlichkeit für jeden der 3 Fälle ist 1/3. Die Berechnung erfolgt für Fall I, alle anderen Fälle sind analog zu behandeln. Hypothese h: der Gewinn ist hinter der gewählten Tür A. p(h) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der gewählten Tür ist, bevor man irgendetwas weiß (außer den Spielbedingungen). e (die Kenntnis davon) die vom Moderator geöffnete Tür ist Tür B. p(h/e) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der gewählten Tür A ist, wenn der Moderator Tür B öffnet. (1) Bayes' Theorem: p(h/e) = p(e/h) * p(h) p(e) Gesucht ist gerade die linke Seite in der Formel zu Bayes' Theorem, das ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, gegeben, daß der Moderat Tür B öffnet. Zu berechnen ist daher: p(e/h) * p(h)/p(e) [Zu den Beweiszeilen siehe die nachfolgenden Erläuterungen] (2) p(e/h) = 1/2 (3) p(h) = 1/3 (4) p(e) = 1/2 (5) p(e/h) * p(h) = 1/2 * 1/3 = 2 = 1 p(e) 1/2 6 3 (6) p(h/e) = 1/3 (7) Gesamtwahrscheinlichkeit für Gewinn hinter A, B oder C = 1 (nach Spielvoraussetzung) Gewinn hinter A B C Summe (8) Wahrscheinlichkeit 1/3 aus (6) 0, da geöffnet 1 aus (7) (9) Wahrscheinlichkeit 1 –1/3 = 2/3 Die Gewinnwahrscheinlich erhöht sich auf 2/3. Es für Monty geboten zu wechseln. Anfang Erläuterungen Zu (2): p(e/h) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Moderator die Tür B öffnet (und der Kandidat davon Kenntnis erlangt), gegeben: hinter Tür A ist der Gewinn. Sie ist 1/2. Wenn der Gewinn hinter der Tür A ist, sind hinter den beiden anderen Türen Verluste. Davon wählt der Moderat irgendeine mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Mit 50% Wahrscheinlichkeit wählt er also Tür B. zurück zum Beweis Zu (3): p(h) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter Tür A ist, bevor man irgendetwas weiß = 1/3 – zurück zum Beweis Zu (4): p(e) Ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet; sie ist 1/2. Die Berechnung erfolgt durch Fallunterscheidung: Fall 1: die Chance, daß der Moderator die Tür B öffnet (er könnte ebenso gut Tür C wäh­len), ist 1/2. Da die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Fall 1 eintritt 1/3 ist, ist die bedingte Wahrschein­lichkeit 1/3 * 1/2 = 1/6. Fall 2: der Kandidat wählt A, der Gewinn ist hinter Tür B. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet ist 0, da der Moderator den Regeln gemäß, nur eine Tür mit Verlust öffnet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Fall 2 eintritt und der Moderator Tür B öffnet = 1/3 * 0 = 0 Fall 3: der Kandidat wählt A, der Gewinn ist hinter Tür C. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet ist 1, da der Moderator den Regeln gemäß, nur eine Tür mit Verlust öffnet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Fall 3 eintritt und der Moderator Tür B öffnet = 1/3 * 1 = 1/3 Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet, ist für alle drei Fälle 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2 zurück zum Beweis Zu (5): die aus (2) bis (4) ermittelten Werte in (1) eingesetzt ergeben p(h/e) = 1/3 zurück zum Beweis Zu (6): Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, gegeben, daß der Moderator Tür B öffnet, ist 1/3. Das deckt sich mit der Intuition: die anfängliche Wahrscheinlichkeit p(h) gilt auch für p(h/e). Allerdings hat sich die Situation dramatisch verändert: es stehen nur noch Tür A und C zur Disposition. zurück zum Beweis Zu (8) und (9): Die Tür B ist geöffnet: dahinter ist ein Verlust. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, ist 1/3 (wie in (5) berechnet), daher ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür C ist = 1 – 1/3 = 2/3. zurück zum Beweis Zusammenfassung Nachdem der Moderator die Tür B geöffnet hat, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die gewählte Tür A des Kandidaten = 1/3; für die andere verschlossene Tür C = 2/3. Eine ähnliche Berechnung kann man im Fall I für e: "(die Kenntnis davon) die vom Moderator geöffnete Tür ist Tür C" durchführen. Analoge Berechnungen kann man für die Fälle II und III durchführen. Danke für deine klaren - und vor allem kurzen - Worte, Kolli ;-)

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Da ich Kolli´s Erklärung nicht so recht geschnallt hab schaute ich mich im Internet nach einer verständlicheren Variante um. Die lautet so: Drei-Kasten-Problem – Drei-Türen-Problem – Monty-Hall-Problem – Gefangenenproblem – Ziegenproblem Lösungen zu diesen Problemen: intuitive Erklärung – Fallunterscheidung – Beweis – Literatur -------------------------------------------------------------------------------- Hier zu den verschiedenen Aufgabenstellungen, so diese nicht bekannt sind. Es gibt zahlreiche Lösungen, die das Ergebnis: »Es ist vorteilhaft zu wechseln« veranschaulichen. Hier zuerst zwei intuitive Erklärungen. Immer wenn hinter der Türe von Monty (des Kandidaten) eine Ziege ist, ist es für ihn geboten zu wechseln. Er verbessert sich von der Ziege zum Auto. In 2/3 aller Fälle ist hinter seiner Türe eine Ziege. In genau diesen Fällen ist genau hinter der geschlossenen Tür das Auto. Folglich ist es, wie in der Aufgabe vorausgesetzt, auch im Falle des Nichtwissens für Monty (den Kandidaten) vorteilhaft zu wechseln. In 2/3 aller Fälle verbessert er sich. a) Zu Beginn ist die Wahrscheinlichkeit für das Auto (WfdA) hinter A = 1/3. b) Zu Beginn ist die WfdA hinter Nicht-A = 2/3. c) Nach dem Öffnen einer Tür von den beiden Nicht-A-Türen ist die WfdA hinter der geöffneten Nicht-A-Tür = 0, da der Moderator nur eine Niete öffnet. d) Da die WfdA für beide Nicht-A-Türen nach b) = 2/3 ist, so ist die WfdA für die geschlossene Nicht-A-Tür = 2/3 (siehe b) minus 0 (siehe c) = 2/3. Somit hat der Kandidat die Wahl zwischen WfdA bei A = 1/3 (siehe a) und der WfdA bei der geschlossenen Nicht-A-Tür = 2/3 (siehe d). Man kann Monty nur empfehlen zu wechseln. Weitere intuitive Erklärungen am Beginn der Fallunterscheidung mit 10 Türen. Beweis Der Beweisgedanke ist folgender: Die anfängliche Gewinnwahrscheinlichkeit für die Wahl des Kandidaten = 1/3 bleibt, auch wenn der Moderator eine Tür geöffnet hat. Das wird bewiesen. Die gesamte Gewinnwahrscheinlichkeit bei Öffnen aller Türen bleibt = 1. Folglich ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die noch geschlossene, nicht vom Kandidaten gewählte Tür = 2/3. -------------------------------------------------------------------------------- Die Türen seien A, B, C. Nur hinter einer Tür ist ein Gewinn. Es sind drei Fälle möglich: Der Kandidat wählt im Fall I die Tür A; im Fall II die Tür B; im Fall III die Tür C. Die Wahrscheinlichkeit für jeden der 3 Fälle ist 1/3. Die Berechnung erfolgt für Fall I, alle anderen Fälle sind analog zu behandeln. Hypothese h: der Gewinn ist hinter der gewählten Tür A. p(h) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der gewählten Tür ist, bevor man irgendetwas weiß (außer den Spielbedingungen). e (die Kenntnis davon) die vom Moderator geöffnete Tür ist Tür B. p(h/e) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der gewählten Tür A ist, wenn der Moderator Tür B öffnet. (1) Bayes' Theorem: p(h/e) = p(e/h) * p(h) p(e) Gesucht ist gerade die linke Seite in der Formel zu Bayes' Theorem, das ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, gegeben, daß der Moderat Tür B öffnet. Zu berechnen ist daher: p(e/h) * p(h)/p(e) [Zu den Beweiszeilen siehe die nachfolgenden Erläuterungen] (2) p(e/h) = 1/2 (3) p(h) = 1/3 (4) p(e) = 1/2 (5) p(e/h) * p(h) = 1/2 * 1/3 = 2 = 1 p(e) 1/2 6 3 (6) p(h/e) = 1/3 (7) Gesamtwahrscheinlichkeit für Gewinn hinter A, B oder C = 1 (nach Spielvoraussetzung) Gewinn hinter A B C Summe (8) Wahrscheinlichkeit 1/3 aus (6) 0, da geöffnet 1 aus (7) (9) Wahrscheinlichkeit 1 –1/3 = 2/3 Die Gewinnwahrscheinlich erhöht sich auf 2/3. Es für Monty geboten zu wechseln. Anfang Erläuterungen Zu (2): p(e/h) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Moderator die Tür B öffnet (und der Kandidat davon Kenntnis erlangt), gegeben: hinter Tür A ist der Gewinn. Sie ist 1/2. Wenn der Gewinn hinter der Tür A ist, sind hinter den beiden anderen Türen Verluste. Davon wählt der Moderat irgendeine mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Mit 50% Wahrscheinlichkeit wählt er also Tür B. zurück zum Beweis Zu (3): p(h) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter Tür A ist, bevor man irgendetwas weiß = 1/3 – zurück zum Beweis Zu (4): p(e) Ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet; sie ist 1/2. Die Berechnung erfolgt durch Fallunterscheidung: Fall 1: die Chance, daß der Moderator die Tür B öffnet (er könnte ebenso gut Tür C wäh­len), ist 1/2. Da die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Fall 1 eintritt 1/3 ist, ist die bedingte Wahrschein­lichkeit 1/3 * 1/2 = 1/6. Fall 2: der Kandidat wählt A, der Gewinn ist hinter Tür B. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet ist 0, da der Moderator den Regeln gemäß, nur eine Tür mit Verlust öffnet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Fall 2 eintritt und der Moderator Tür B öffnet = 1/3 * 0 = 0 Fall 3: der Kandidat wählt A, der Gewinn ist hinter Tür C. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet ist 1, da der Moderator den Regeln gemäß, nur eine Tür mit Verlust öffnet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Fall 3 eintritt und der Moderator Tür B öffnet = 1/3 * 1 = 1/3 Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet, ist für alle drei Fälle 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2 zurück zum Beweis Zu (5): die aus (2) bis (4) ermittelten Werte in (1) eingesetzt ergeben p(h/e) = 1/3 zurück zum Beweis Zu (6): Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, gegeben, daß der Moderator Tür B öffnet, ist 1/3. Das deckt sich mit der Intuition: die anfängliche Wahrscheinlichkeit p(h) gilt auch für p(h/e). Allerdings hat sich die Situation dramatisch verändert: es stehen nur noch Tür A und C zur Disposition. zurück zum Beweis Zu (8) und (9): Die Tür B ist geöffnet: dahinter ist ein Verlust. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, ist 1/3 (wie in (5) berechnet), daher ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür C ist = 1 – 1/3 = 2/3. zurück zum Beweis Zusammenfassung Nachdem der Moderator die Tür B geöffnet hat, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die gewählte Tür A des Kandidaten = 1/3; für die andere verschlossene Tür C = 2/3. Eine ähnliche Berechnung kann man im Fall I für e: "(die Kenntnis davon) die vom Moderator geöffnete Tür ist Tür C" durchführen. Analoge Berechnungen kann man für die Fälle II und III durchführen. Danke für deine klaren - und vor allem kurzen - Worte, Kolli ;-)

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