Denksport
Antworten: 16
05-11-2011 17:38 kolli
Denksport
Folgendes Rätsel:
In einer Quizshow wird eine Auto verlost. Die Regeln sind folgende: Es gibt 3 Türen, hinter einer dieser Türen verbirgt sich das Auto, hinter den restlichen Türen verbergen sie Nieten. Der Moderator weis, hinter welcher Tür sich das Auto verbirgt. Die Kanditatin (der Kanditat) wählt eine Tür. Daraufhin öffnet der Moderator eine der verbleibenden 2 Türen, hinter der sich eine Niete verbirgt. Jetzt hat die Kanditatin (der Kanditat) die Möglichkeit, bei seiner Erstwahl zu bleiben, oder zur verbliebenen verschlossenen Tür zu wechseln. Soll sie wechseln, oder soll sie bei ihrer Erstwahl bleiben. Wie verhalten sich die Wahrscheinlichkeiten, das Auto zu gewinnen, wenn sie bei ihrer Erstwahl bleibt, oder wenn sie wechselt.
PS: Wer das Rätsel und die Lösung bereits kennt, soll sich etwas zurückhalten mit der Lösung, damit den begabten Wahrscheinlichkeitsrechnern nicht der Spass verdorben wird.
Folgendes Rätsel:
In einer Quizshow wird eine Auto verlost. Die Regeln sind folgende: Es gibt 3 Türen, hinter einer dieser Türen verbirgt sich das Auto, hinter den restlichen Türen verbergen sie Nieten. Der Moderator weis, hinter welcher Tür sich das Auto verbirgt. Die Kanditatin (der Kanditat) wählt eine Tür. Daraufhin öffnet der Moderator eine der verbleibenden 2 Türen, hinter der sich eine Niete verbirgt. Jetzt hat die Kanditatin (der Kanditat) die Möglichkeit, bei seiner Erstwahl zu bleiben, oder zur verbliebenen verschlossenen Tür zu wechseln. Soll sie wechseln, oder soll sie bei ihrer Erstwahl bleiben. Wie verhalten sich die Wahrscheinlichkeiten, das Auto zu gewinnen, wenn sie bei ihrer Erstwahl bleibt, oder wenn sie wechselt.
PS: Wer das Rätsel und die Lösung bereits kennt, soll sich etwas zurückhalten mit der Lösung, damit den begabten Wahrscheinlichkeitsrechnern nicht der Spass verdorben wird.
05-11-2011 19:52 traktorensteff
Denksport
Nachdem noch niemand geantwortet hat, versuche ich es. Ich kenne diese Denksportaufgabe nicht, aber hat eine "Quizzshow" doch nichts mit Öffnen von Türen zu tun sondern mit Fragen? Nagut.
Statistisch: Zuerst war die Wahrscheinlichkeit auf einen Gewinn 1:3 (33 %), nun ist sie 1:2 (50 %), egal ob gewechselt wird oder nicht.
Aber ich glaube, der Haken liegt wo anders.
Nachdem noch niemand geantwortet hat, versuche ich es. Ich kenne diese Denksportaufgabe nicht, aber hat eine "Quizzshow" doch nichts mit Öffnen von Türen zu tun sondern mit Fragen? Nagut.
Statistisch: Zuerst war die Wahrscheinlichkeit auf einen Gewinn 1:3 (33 %), nun ist sie 1:2 (50 %), egal ob gewechselt wird oder nicht.
Aber ich glaube, der Haken liegt wo anders.
05-11-2011 21:33 kolli
Denksport
Hallo Traktorensteff.
Du liegst mit deiner Einschätzung statistisch sehr gut. Wahrscheinlich finden 99%, dass die Wahrscheinlichkeit bei 50 zu 50 liegt. Stimmt aber nicht, soviel verrate ich.
Hallo Traktorensteff.
Du liegst mit deiner Einschätzung statistisch sehr gut. Wahrscheinlich finden 99%, dass die Wahrscheinlichkeit bei 50 zu 50 liegt. Stimmt aber nicht, soviel verrate ich.
05-11-2011 21:48 rotfeder
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Hallo!
Ich würde sagen, der Kanditat sollte seine Tür behalten, wenn man deinem Wortlaut genau zuhört, sagst du der Moderator öffnet eine der beiden Türen, hinter denen sich eine Niete befindet.
Hallo!
Ich würde sagen, der Kanditat sollte seine Tür behalten, wenn man deinem Wortlaut genau zuhört, sagst du der Moderator öffnet eine der beiden Türen, hinter denen sich eine Niete befindet.
05-11-2011 22:28 kolli
Denksport
Nein, er sollte wechseln, aber warum? Es handelt sich übrigens um keinen Trick. Nur Logik und Wahrscheinlichkeit. Er erhöht die Gewinnwahrscheinlichkeit wenn er wechselt. Bleibt er bei seiner Entscheidung, dann beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3. Eh klar, bei 3 Türen. Wenn er wechselt beträgt seine Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3.
Nein, er sollte wechseln, aber warum? Es handelt sich übrigens um keinen Trick. Nur Logik und Wahrscheinlichkeit. Er erhöht die Gewinnwahrscheinlichkeit wenn er wechselt. Bleibt er bei seiner Entscheidung, dann beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3. Eh klar, bei 3 Türen. Wenn er wechselt beträgt seine Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3.
06-11-2011 08:48 ALADIN
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Glaubts diesen Blödsinn nicht. Oder sollte man bei Billa nachfragen wegen dem Hausverstand?
Glaubts diesen Blödsinn nicht. Oder sollte man bei Billa nachfragen wegen dem Hausverstand?
06-11-2011 11:51 traktorensteff
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@ kolli
Das ist leider statistisch nicht korrekt.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung heißt es "Günstige / Mögliche". Wenn er weiß, wo eine Niete ist, dann fällt dieses Tor einfach weg. Er muss es ja nicht mehr in seine Auswahl nehmen. Also ist die Wahrscheinlichkeit nach dem Öffnen einer Türe auf jeden Fall nicht 1/3!
Aber bitte erkläre es uns genauer. Ich verstehe es nicht. Lasse mich aber gerne belehren, trotz Statistikkursen an der Uni.
PS.: Beim Lotto haben die Zahlen 1 2 3 4 5 6 die gleiche Wahrscheinlichkeit, als durchéinandergemischte Zahlen. Nur würde jeder eher schätzen, dass genau diese Zahlen nicht kommen. Wenn er im Beispiel wechselt, macht das überhaupt nichts aus! Es verbessert nichts, weil es gleich wahrscheinlich ist, dass das Auto hinter dem rechten oder linken Tor ist.
@ kolli
Das ist leider statistisch nicht korrekt.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung heißt es "Günstige / Mögliche". Wenn er weiß, wo eine Niete ist, dann fällt dieses Tor einfach weg. Er muss es ja nicht mehr in seine Auswahl nehmen. Also ist die Wahrscheinlichkeit nach dem Öffnen einer Türe auf jeden Fall nicht 1/3!
Aber bitte erkläre es uns genauer. Ich verstehe es nicht. Lasse mich aber gerne belehren, trotz Statistikkursen an der Uni.
PS.: Beim Lotto haben die Zahlen 1 2 3 4 5 6 die gleiche Wahrscheinlichkeit, als durchéinandergemischte Zahlen. Nur würde jeder eher schätzen, dass genau diese Zahlen nicht kommen. Wenn er im Beispiel wechselt, macht das überhaupt nichts aus! Es verbessert nichts, weil es gleich wahrscheinlich ist, dass das Auto hinter dem rechten oder linken Tor ist.
06-11-2011 13:03 kolli
Denksport
Es geht darum, dass der Moderator eine Niete ausschliest, und somit eine Zusatzinformation gibt.
Zum Verständnis: Wenn ein Kanditat stur immer die gleiche Strategie fährt, und niemals die Tür wechselt, dann kann doch seine Gewinnwahrscheinlichkeit nur bei 1/3 liegen. Er entscheidet sich für eine Tür, und egal was der Moderator macht, er bleibt bei seiner Entscheidung, also logisch.
Die Alternitive zu dieser Strategie ist, dass der Kanditat die Tür wechselt. Da die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist, d. h. das Auto wird immer verlost, weil der Moderator ja immer nur eine Niete öffnet, so ist die Wahrscheinichkeit bei einem Wechsel logischerweise 2/3.
Anders formuliert: Wenn du eine Tür wählst, hast du eine Gewinnchance von 1/3. Die Chance, dass das Auto hinter einer der 2 nicht gewählten Türen ist, beträgt also 2/3. Der Moderator gibt dir nun die Info, hinter welchen der beiden Türen mit der 2/3 Wahrscheinlichkeit das Auto nicht ist. Damit weist du automatisch, dass das Auto mit 2/3 Wahrscheinlichkeit hinter der verbleibenden Tür ist - also wechseln.
Anders formuliert: Spiel das Spiel mit hundert Türen, dann wird es plötzlich klar. Der Kanditat wählt eine Tür aus 100. Er hat also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/100. Daraufhin öffnet der Moderator nacheinander 98 Türen, die alle Nieten sind. Es bleiben also noch deine erstgewählte Tür, und eine vom Moderator nicht geöffnete Tür. Nun würdest du doch wechseln oder? Bei diesem Beispiel wird klar, dass die Wahrscheinlichkeit des Gewinnes bei Nichtwechseln nur 1/100 beträgt, bei Wechseln aber 99/100.
Der Moderotor hat Nieten aussortieret, das kommt dir zugute.
Es geht darum, dass der Moderator eine Niete ausschliest, und somit eine Zusatzinformation gibt.
Zum Verständnis: Wenn ein Kanditat stur immer die gleiche Strategie fährt, und niemals die Tür wechselt, dann kann doch seine Gewinnwahrscheinlichkeit nur bei 1/3 liegen. Er entscheidet sich für eine Tür, und egal was der Moderator macht, er bleibt bei seiner Entscheidung, also logisch.
Die Alternitive zu dieser Strategie ist, dass der Kanditat die Tür wechselt. Da die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist, d. h. das Auto wird immer verlost, weil der Moderator ja immer nur eine Niete öffnet, so ist die Wahrscheinichkeit bei einem Wechsel logischerweise 2/3.
Anders formuliert: Wenn du eine Tür wählst, hast du eine Gewinnchance von 1/3. Die Chance, dass das Auto hinter einer der 2 nicht gewählten Türen ist, beträgt also 2/3. Der Moderator gibt dir nun die Info, hinter welchen der beiden Türen mit der 2/3 Wahrscheinlichkeit das Auto nicht ist. Damit weist du automatisch, dass das Auto mit 2/3 Wahrscheinlichkeit hinter der verbleibenden Tür ist - also wechseln.
Anders formuliert: Spiel das Spiel mit hundert Türen, dann wird es plötzlich klar. Der Kanditat wählt eine Tür aus 100. Er hat also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/100. Daraufhin öffnet der Moderator nacheinander 98 Türen, die alle Nieten sind. Es bleiben also noch deine erstgewählte Tür, und eine vom Moderator nicht geöffnete Tür. Nun würdest du doch wechseln oder? Bei diesem Beispiel wird klar, dass die Wahrscheinlichkeit des Gewinnes bei Nichtwechseln nur 1/100 beträgt, bei Wechseln aber 99/100.
Der Moderotor hat Nieten aussortieret, das kommt dir zugute.
06-11-2011 16:27 cyber
Denksport
Da ich Kolli´s Erklärung nicht so recht geschnallt hab schaute ich mich im Internet nach einer verständlicheren Variante um.
Die lautet so:
Drei-Kasten-Problem – Drei-Türen-Problem – Monty-Hall-Problem – Gefangenenproblem – Ziegenproblem
Lösungen zu diesen Problemen: intuitive Erklärung – Fallunterscheidung – Beweis – Literatur
--------------------------------------------------------------------------------
Hier zu den verschiedenen Aufgabenstellungen, so diese nicht bekannt sind.
Es gibt zahlreiche Lösungen, die das Ergebnis: »Es ist vorteilhaft zu wechseln« veranschaulichen. Hier zuerst zwei intuitive Erklärungen.
Immer wenn hinter der Türe von Monty (des Kandidaten) eine Ziege ist, ist es für ihn geboten zu wechseln. Er verbessert sich von der Ziege zum Auto. In 2/3 aller Fälle ist hinter seiner Türe eine Ziege. In genau diesen Fällen ist genau hinter der geschlossenen Tür das Auto. Folglich ist es, wie in der Aufgabe vorausgesetzt, auch im Falle des Nichtwissens für Monty (den Kandidaten) vorteilhaft zu wechseln. In 2/3 aller Fälle verbessert er sich.
a) Zu Beginn ist die Wahrscheinlichkeit für das Auto (WfdA) hinter A = 1/3.
b) Zu Beginn ist die WfdA hinter Nicht-A = 2/3.
c) Nach dem Öffnen einer Tür von den beiden Nicht-A-Türen ist die WfdA hinter der geöffneten Nicht-A-Tür = 0, da der Moderator nur eine Niete öffnet.
d) Da die WfdA für beide Nicht-A-Türen nach b) = 2/3 ist, so ist die WfdA für die geschlossene Nicht-A-Tür = 2/3 (siehe b) minus 0 (siehe c) = 2/3. Somit hat der Kandidat die Wahl zwischen WfdA bei A = 1/3 (siehe a) und der WfdA bei der geschlossenen Nicht-A-Tür = 2/3 (siehe d).
Man kann Monty nur empfehlen zu wechseln.
Weitere intuitive Erklärungen am Beginn der Fallunterscheidung mit 10 Türen.
Beweis
Der Beweisgedanke ist folgender: Die anfängliche Gewinnwahrscheinlichkeit für die Wahl des Kandidaten = 1/3 bleibt, auch wenn der Moderator eine Tür geöffnet hat. Das wird bewiesen. Die gesamte Gewinnwahrscheinlichkeit bei Öffnen aller Türen bleibt = 1. Folglich ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die noch geschlossene, nicht vom Kandidaten gewählte Tür = 2/3.
--------------------------------------------------------------------------------
Die Türen seien A, B, C. Nur hinter einer Tür ist ein Gewinn.
Es sind drei Fälle möglich: Der Kandidat wählt im Fall I die Tür A; im Fall II die Tür B; im Fall III die Tür C. Die Wahrscheinlichkeit für jeden der 3 Fälle ist 1/3. Die Berechnung erfolgt für Fall I, alle anderen Fälle sind analog zu behandeln.
Hypothese h: der Gewinn ist hinter der gewählten Tür A.
p(h) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der gewählten Tür ist, bevor man irgendetwas weiß (außer den Spielbedingungen).
e (die Kenntnis davon) die vom Moderator geöffnete Tür ist Tür B.
p(h/e) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der gewählten Tür A ist, wenn der Moderator Tür B öffnet. (1) Bayes' Theorem: p(h/e) = p(e/h) * p(h)
p(e)
Gesucht ist gerade die linke Seite in der Formel zu Bayes' Theorem, das ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, gegeben, daß der Moderat Tür B öffnet. Zu berechnen ist daher: p(e/h) * p(h)/p(e) [Zu den Beweiszeilen siehe die nachfolgenden Erläuterungen]
(2) p(e/h) = 1/2
(3) p(h) = 1/3
(4) p(e) = 1/2
(5) p(e/h) * p(h) = 1/2 * 1/3 = 2 = 1
p(e) 1/2 6 3
(6) p(h/e) = 1/3
(7) Gesamtwahrscheinlichkeit für Gewinn hinter A, B oder C = 1 (nach Spielvoraussetzung)
Gewinn hinter A B C Summe
(8) Wahrscheinlichkeit 1/3 aus (6) 0, da geöffnet 1 aus (7)
(9) Wahrscheinlichkeit 1 –1/3 = 2/3
Die Gewinnwahrscheinlich erhöht sich auf 2/3. Es für Monty geboten zu wechseln.
Anfang
Erläuterungen
Zu (2): p(e/h) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Moderator die Tür B öffnet (und der Kandidat davon Kenntnis erlangt), gegeben: hinter Tür A ist der Gewinn. Sie ist 1/2. Wenn der Gewinn hinter der Tür A ist, sind hinter den beiden anderen Türen Verluste. Davon wählt der Moderat irgendeine mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Mit 50% Wahrscheinlichkeit wählt er also Tür B.
zurück zum Beweis
Zu (3): p(h) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter Tür A ist, bevor man irgendetwas weiß = 1/3 – zurück zum Beweis
Zu (4): p(e) Ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet; sie ist 1/2. Die Berechnung erfolgt durch Fallunterscheidung:
Fall 1: die Chance, daß der Moderator die Tür B öffnet (er könnte ebenso gut Tür C wählen), ist 1/2. Da die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Fall 1 eintritt 1/3 ist, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit 1/3 * 1/2 = 1/6.
Fall 2: der Kandidat wählt A, der Gewinn ist hinter Tür B. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet ist 0, da der Moderator den Regeln gemäß, nur eine Tür mit Verlust öffnet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Fall 2 eintritt und der Moderator Tür B öffnet = 1/3 * 0 = 0
Fall 3: der Kandidat wählt A, der Gewinn ist hinter Tür C. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet ist 1, da der Moderator den Regeln gemäß, nur eine Tür mit Verlust öffnet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Fall 3 eintritt und der Moderator Tür B öffnet = 1/3 * 1 = 1/3
Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet, ist für alle drei Fälle 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2
zurück zum Beweis
Zu (5): die aus (2) bis (4) ermittelten Werte in (1) eingesetzt ergeben p(h/e) = 1/3
zurück zum Beweis
Zu (6): Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, gegeben, daß der Moderator Tür B öffnet, ist 1/3. Das deckt sich mit der Intuition: die anfängliche Wahrscheinlichkeit p(h) gilt auch für p(h/e). Allerdings hat sich die Situation dramatisch verändert: es stehen nur noch Tür A und C zur Disposition.
zurück zum Beweis
Zu (8) und (9): Die Tür B ist geöffnet: dahinter ist ein Verlust. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, ist 1/3 (wie in (5) berechnet), daher ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür C ist = 1 – 1/3 = 2/3.
zurück zum Beweis
Zusammenfassung
Nachdem der Moderator die Tür B geöffnet hat, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die gewählte Tür A des Kandidaten = 1/3; für die andere verschlossene Tür C = 2/3. Eine ähnliche Berechnung kann man im Fall I für e: "(die Kenntnis davon) die vom Moderator geöffnete Tür ist Tür C" durchführen. Analoge Berechnungen kann man für die Fälle II und III durchführen.
Danke für deine klaren - und vor allem kurzen - Worte, Kolli ;-)
Da ich Kolli´s Erklärung nicht so recht geschnallt hab schaute ich mich im Internet nach einer verständlicheren Variante um.
Die lautet so:
Drei-Kasten-Problem – Drei-Türen-Problem – Monty-Hall-Problem – Gefangenenproblem – Ziegenproblem
Lösungen zu diesen Problemen: intuitive Erklärung – Fallunterscheidung – Beweis – Literatur
--------------------------------------------------------------------------------
Hier zu den verschiedenen Aufgabenstellungen, so diese nicht bekannt sind.
Es gibt zahlreiche Lösungen, die das Ergebnis: »Es ist vorteilhaft zu wechseln« veranschaulichen. Hier zuerst zwei intuitive Erklärungen.
Immer wenn hinter der Türe von Monty (des Kandidaten) eine Ziege ist, ist es für ihn geboten zu wechseln. Er verbessert sich von der Ziege zum Auto. In 2/3 aller Fälle ist hinter seiner Türe eine Ziege. In genau diesen Fällen ist genau hinter der geschlossenen Tür das Auto. Folglich ist es, wie in der Aufgabe vorausgesetzt, auch im Falle des Nichtwissens für Monty (den Kandidaten) vorteilhaft zu wechseln. In 2/3 aller Fälle verbessert er sich.
a) Zu Beginn ist die Wahrscheinlichkeit für das Auto (WfdA) hinter A = 1/3.
b) Zu Beginn ist die WfdA hinter Nicht-A = 2/3.
c) Nach dem Öffnen einer Tür von den beiden Nicht-A-Türen ist die WfdA hinter der geöffneten Nicht-A-Tür = 0, da der Moderator nur eine Niete öffnet.
d) Da die WfdA für beide Nicht-A-Türen nach b) = 2/3 ist, so ist die WfdA für die geschlossene Nicht-A-Tür = 2/3 (siehe b) minus 0 (siehe c) = 2/3. Somit hat der Kandidat die Wahl zwischen WfdA bei A = 1/3 (siehe a) und der WfdA bei der geschlossenen Nicht-A-Tür = 2/3 (siehe d).
Man kann Monty nur empfehlen zu wechseln.
Weitere intuitive Erklärungen am Beginn der Fallunterscheidung mit 10 Türen.
Beweis
Der Beweisgedanke ist folgender: Die anfängliche Gewinnwahrscheinlichkeit für die Wahl des Kandidaten = 1/3 bleibt, auch wenn der Moderator eine Tür geöffnet hat. Das wird bewiesen. Die gesamte Gewinnwahrscheinlichkeit bei Öffnen aller Türen bleibt = 1. Folglich ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die noch geschlossene, nicht vom Kandidaten gewählte Tür = 2/3.
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Die Türen seien A, B, C. Nur hinter einer Tür ist ein Gewinn.
Es sind drei Fälle möglich: Der Kandidat wählt im Fall I die Tür A; im Fall II die Tür B; im Fall III die Tür C. Die Wahrscheinlichkeit für jeden der 3 Fälle ist 1/3. Die Berechnung erfolgt für Fall I, alle anderen Fälle sind analog zu behandeln.
Hypothese h: der Gewinn ist hinter der gewählten Tür A.
p(h) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der gewählten Tür ist, bevor man irgendetwas weiß (außer den Spielbedingungen).
e (die Kenntnis davon) die vom Moderator geöffnete Tür ist Tür B.
p(h/e) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der gewählten Tür A ist, wenn der Moderator Tür B öffnet. (1) Bayes' Theorem: p(h/e) = p(e/h) * p(h)
p(e)
Gesucht ist gerade die linke Seite in der Formel zu Bayes' Theorem, das ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, gegeben, daß der Moderat Tür B öffnet. Zu berechnen ist daher: p(e/h) * p(h)/p(e) [Zu den Beweiszeilen siehe die nachfolgenden Erläuterungen]
(2) p(e/h) = 1/2
(3) p(h) = 1/3
(4) p(e) = 1/2
(5) p(e/h) * p(h) = 1/2 * 1/3 = 2 = 1
p(e) 1/2 6 3
(6) p(h/e) = 1/3
(7) Gesamtwahrscheinlichkeit für Gewinn hinter A, B oder C = 1 (nach Spielvoraussetzung)
Gewinn hinter A B C Summe
(8) Wahrscheinlichkeit 1/3 aus (6) 0, da geöffnet 1 aus (7)
(9) Wahrscheinlichkeit 1 –1/3 = 2/3
Die Gewinnwahrscheinlich erhöht sich auf 2/3. Es für Monty geboten zu wechseln.
Anfang
Erläuterungen
Zu (2): p(e/h) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Moderator die Tür B öffnet (und der Kandidat davon Kenntnis erlangt), gegeben: hinter Tür A ist der Gewinn. Sie ist 1/2. Wenn der Gewinn hinter der Tür A ist, sind hinter den beiden anderen Türen Verluste. Davon wählt der Moderat irgendeine mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Mit 50% Wahrscheinlichkeit wählt er also Tür B.
zurück zum Beweis
Zu (3): p(h) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter Tür A ist, bevor man irgendetwas weiß = 1/3 – zurück zum Beweis
Zu (4): p(e) Ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet; sie ist 1/2. Die Berechnung erfolgt durch Fallunterscheidung:
Fall 1: die Chance, daß der Moderator die Tür B öffnet (er könnte ebenso gut Tür C wählen), ist 1/2. Da die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Fall 1 eintritt 1/3 ist, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit 1/3 * 1/2 = 1/6.
Fall 2: der Kandidat wählt A, der Gewinn ist hinter Tür B. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet ist 0, da der Moderator den Regeln gemäß, nur eine Tür mit Verlust öffnet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Fall 2 eintritt und der Moderator Tür B öffnet = 1/3 * 0 = 0
Fall 3: der Kandidat wählt A, der Gewinn ist hinter Tür C. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet ist 1, da der Moderator den Regeln gemäß, nur eine Tür mit Verlust öffnet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Fall 3 eintritt und der Moderator Tür B öffnet = 1/3 * 1 = 1/3
Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet, ist für alle drei Fälle 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2
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Zu (5): die aus (2) bis (4) ermittelten Werte in (1) eingesetzt ergeben p(h/e) = 1/3
zurück zum Beweis
Zu (6): Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, gegeben, daß der Moderator Tür B öffnet, ist 1/3. Das deckt sich mit der Intuition: die anfängliche Wahrscheinlichkeit p(h) gilt auch für p(h/e). Allerdings hat sich die Situation dramatisch verändert: es stehen nur noch Tür A und C zur Disposition.
zurück zum Beweis
Zu (8) und (9): Die Tür B ist geöffnet: dahinter ist ein Verlust. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, ist 1/3 (wie in (5) berechnet), daher ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür C ist = 1 – 1/3 = 2/3.
zurück zum Beweis
Zusammenfassung
Nachdem der Moderator die Tür B geöffnet hat, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die gewählte Tür A des Kandidaten = 1/3; für die andere verschlossene Tür C = 2/3. Eine ähnliche Berechnung kann man im Fall I für e: "(die Kenntnis davon) die vom Moderator geöffnete Tür ist Tür C" durchführen. Analoge Berechnungen kann man für die Fälle II und III durchführen.
Danke für deine klaren - und vor allem kurzen - Worte, Kolli ;-)
06-11-2011 17:44 kolli
Denksport
Versuch einer Schnellantwort:
Du hast die Möglichkeit, statt einer Tür 2 zu wählen, damit kannst du deine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 auf 2/3 erhöhen. Wie du 2 Türen wählen kannst?
Ganz einfach: Bezeichnen wir die Türen mit A,B,C. Du willst die Türen B und C wählen, also sagst du zum Moderator A. Danach wird der Moderator eine der Türen von B oder C öffnen, du kannst die verbleibende wählen, und hast somit die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2 Türen erreicht.
Versuch einer Schnellantwort:
Du hast die Möglichkeit, statt einer Tür 2 zu wählen, damit kannst du deine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 auf 2/3 erhöhen. Wie du 2 Türen wählen kannst?
Ganz einfach: Bezeichnen wir die Türen mit A,B,C. Du willst die Türen B und C wählen, also sagst du zum Moderator A. Danach wird der Moderator eine der Türen von B oder C öffnen, du kannst die verbleibende wählen, und hast somit die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2 Türen erreicht.
06-11-2011 17:52 traktorensteff
Denksport
@ cyber
Danke. Naja, überlebenswichtig ist es nicht, das zu durchschauen. Schließlich ist doch "Der Preis ist heiß" schon lange abgesetzt. Das hab ich als Kind immer gerne geschaut.
Was ich nicht verstehe, warum soll der Moderator Nieten ausschließen? Wenn ich mich erinnere, wurde jedes Mal gefragt, ob man wechseln will und nicht doch Geld nehmen würde.
Die Schnellantwort ist leider recht unpraktikabel, weil einige schon auf "Antworten" gedrückt haben und dann gar nichts drinnen steht. Man kann halt keine Links einsetzen.
PS.:
kolli, jetzt verstehe ich, was du meinst! Aber statistisch kann dieses Vorgehen doch nicht halten? Der Statistik ist es egal, ob du B und C favorisierst. Ansonsten hättest du recht, wenn man weiß, dass man wechseln darf, würde diese Vorgehensweise bei einem favorisierten Tor besser sein.
@ cyber
Danke. Naja, überlebenswichtig ist es nicht, das zu durchschauen. Schließlich ist doch "Der Preis ist heiß" schon lange abgesetzt. Das hab ich als Kind immer gerne geschaut.
Was ich nicht verstehe, warum soll der Moderator Nieten ausschließen? Wenn ich mich erinnere, wurde jedes Mal gefragt, ob man wechseln will und nicht doch Geld nehmen würde.
Die Schnellantwort ist leider recht unpraktikabel, weil einige schon auf "Antworten" gedrückt haben und dann gar nichts drinnen steht. Man kann halt keine Links einsetzen.
PS.:
kolli, jetzt verstehe ich, was du meinst! Aber statistisch kann dieses Vorgehen doch nicht halten? Der Statistik ist es egal, ob du B und C favorisierst. Ansonsten hättest du recht, wenn man weiß, dass man wechseln darf, würde diese Vorgehensweise bei einem favorisierten Tor besser sein.
06-11-2011 18:36 kolli
Denksport
ad traktorsteff:
Du kannst das Spiel simulieren, z.B. mit Zündholzschachteln. Wenn du z.B. 1000 mal spielst, dann wirst du als Ergebnis haben, dass du im Fall des Wechsels eine Gewinnchance von 66 % hast, im Fall des Nichtwechsels 33 %.
ad traktorsteff:
Du kannst das Spiel simulieren, z.B. mit Zündholzschachteln. Wenn du z.B. 1000 mal spielst, dann wirst du als Ergebnis haben, dass du im Fall des Wechsels eine Gewinnchance von 66 % hast, im Fall des Nichtwechsels 33 %.
06-11-2011 18:59 cyber
Denksport
Ich hab jedoch vorhin schon auch rausgelesen daß selbst unter Mathematikern keine Klarheit besteht zwischen halber oder zweidrittelwahrscheinlichkeit.
Und da ich wirklich keine logische Erklärung dazu verstehe nehm ich mir die Freiheit nach wie vor an die Halb-Wahrscheinlickkeit zu glauben.
Glaubensfreiheit sozusagen ;-)
Ich hab jedoch vorhin schon auch rausgelesen daß selbst unter Mathematikern keine Klarheit besteht zwischen halber oder zweidrittelwahrscheinlichkeit.
Und da ich wirklich keine logische Erklärung dazu verstehe nehm ich mir die Freiheit nach wie vor an die Halb-Wahrscheinlickkeit zu glauben.
Glaubensfreiheit sozusagen ;-)
06-11-2011 19:40 traktorensteff
Denksport
Das wäre ja jetzt richtig ein Anreiz, in Excel mit der Generierung von Zufallszahlen eine kleine Tabelle zu erstellen und die Simulation durchzurechnen! Hab aber leider keine Zeit dazu. ;-)
Das wäre ja jetzt richtig ein Anreiz, in Excel mit der Generierung von Zufallszahlen eine kleine Tabelle zu erstellen und die Simulation durchzurechnen! Hab aber leider keine Zeit dazu. ;-)
06-11-2011 20:02 kolli
Denksport
ad Traktorensteff:
Brauchst keine Excel-Tabelle erstellen, ist alles schon passiert. Google mal unter "Ziegen-Problem".
Es ist schon richtig, dass auch Mathematiker anfangs die Situation nicht nachvollziehen konnten. Es scheint ja wirklich so, als ob wie von Geisterhand Wahrscheinlchkeiten wandern. Wenn man es aber verstanden hat, dann ist es plötzlich ganz logisch.
Übrigens: Beim Programmieren eines Simulationsprogrammes wurde den meisten Skeptikern plötzlich klar, warum es so ist.
Noch ein Erklärungsversuch:
Es gibt 3 Türen, jede Tür hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, also 1/3.
Der Spielaufbau ist so gestaltet, dass es genau 2 Möglichkeiten gibt: Wechseln oder nicht wechseln.
Gesucht sind also die Wahrscheinlichkeiten von: P(Wechseln) und P(nicht Wechseln)
Beide Wahrscheilichkeiten zusammen ergeben 1.
Die Wahrscheinlichkeit von P(nicht Wechseln) ist 1/3
Die Wahrscheinlichkeit von P(Wechseln) ist die Komplementärwahrscheinlichkeit, also 2/3
Warum ist die Wahrscheinlichkeit von P(nicht Wechseln) gleich 1/3 und nicht 1/2?
Ganz einfach: Wenn du aus 3 Türen eine Tür wählst, und immer bei deiner Entscheidung bleibst, egal was der Moderator macht, dann kannst du den Moderator auch gleich gut aus dem Spiel ausblenden. Was bleibt ist: du wählst aus 3 Türen eine aus, also 1/3. Weil das Auto aber mit Sicherheit hinter einer der beiden verbleibenden Türen sein muß, ist die Komlementärwahrscheinlichkeit 2/3.
ad Traktorensteff:
Brauchst keine Excel-Tabelle erstellen, ist alles schon passiert. Google mal unter "Ziegen-Problem".
Es ist schon richtig, dass auch Mathematiker anfangs die Situation nicht nachvollziehen konnten. Es scheint ja wirklich so, als ob wie von Geisterhand Wahrscheinlchkeiten wandern. Wenn man es aber verstanden hat, dann ist es plötzlich ganz logisch.
Übrigens: Beim Programmieren eines Simulationsprogrammes wurde den meisten Skeptikern plötzlich klar, warum es so ist.
Noch ein Erklärungsversuch:
Es gibt 3 Türen, jede Tür hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, also 1/3.
Der Spielaufbau ist so gestaltet, dass es genau 2 Möglichkeiten gibt: Wechseln oder nicht wechseln.
Gesucht sind also die Wahrscheinlichkeiten von: P(Wechseln) und P(nicht Wechseln)
Beide Wahrscheilichkeiten zusammen ergeben 1.
Die Wahrscheinlichkeit von P(nicht Wechseln) ist 1/3
Die Wahrscheinlichkeit von P(Wechseln) ist die Komplementärwahrscheinlichkeit, also 2/3
Warum ist die Wahrscheinlichkeit von P(nicht Wechseln) gleich 1/3 und nicht 1/2?
Ganz einfach: Wenn du aus 3 Türen eine Tür wählst, und immer bei deiner Entscheidung bleibst, egal was der Moderator macht, dann kannst du den Moderator auch gleich gut aus dem Spiel ausblenden. Was bleibt ist: du wählst aus 3 Türen eine aus, also 1/3. Weil das Auto aber mit Sicherheit hinter einer der beiden verbleibenden Türen sein muß, ist die Komlementärwahrscheinlichkeit 2/3.
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